Совпадения в лотереях: как это возможно

Случай, с которого стоит начать

В сентябре 2009 года в болгарской лотерее 6 из 42 в двух последовательных тиражах выпала одна и та же комбинация из шести номеров.

Реакция была предсказуемой: подозрение в манипуляции, расследование, шум в печати.

Проводилась проверка; признаков вмешательства выявлено не было.

Как это может быть

Вопрос ставится неверно, и в этом всё дело.

Вероятность совпадения двух конкретных заданных заранее тиражей крайне мала.

Но никто не указывал эти два тиража заранее. Спрашивать надо иначе.

Вероятность того, что за большое число тиражей в большом числе лотерей где-либо произойдёт повторение, значительно выше и при достаточном числе розыгрышей приближается к закономерной.

Считайте. В мире проводятся тысячи лотерей. Каждая — один-два тиража в неделю, годами и десятилетиями.

Сравниваются при этом не только соседние тиражи: повторением сочли бы и совпадение с любым предыдущим.

При таком числе пар совпадение обязано было где-то случиться. Оно случилось в Болгарии.

Это дословно тот же счёт, что в парадоксе дней рождения: сравниваются пары, а пар квадратично больше, чем событий.

Двойные победители

Второй классический сюжет.

Известны случаи повторных крупных выигрышей у одного лица.

П. Дьяконис и Ф. Мостеллер в работе 1989 года оценивали вероятность того, что за несколько лет кто-либо в стране выиграет крупный приз дважды, как достаточно высокую при учёте общего числа участников и билетов.

И вот главное уточнение, которое обычно опускают:

Число проданных билетов на порядки превышает число участников: постоянные игроки покупают множество билетов на протяжении лет, что многократно увеличивает число возможностей.

Человек, играющий каждую неделю по десять билетов двадцать лет, покупает их больше десяти тысяч. Таких людей — сотни тысяч.

Вопрос «какова вероятность, что вы выиграете дважды» и вопрос «какова вероятность, что кто-нибудь выиграет дважды» различаются на многие порядки.

Ответ на первый — ничтожная. На второй — почти единица.

Про «неслучайные» комбинации

Комбинации, воспринимаемые как «неслучайные» — последовательные числа, повторяющиеся цифры, — имеют ту же вероятность, что и любые другие.

Комбинация 1-2-3-4-5-6 выпадает ровно с той же вероятностью, что и любая другая, потому что механизм не знает, какая из них выглядит красиво.

Но есть практическая тонкость, о которой стоит знать игрокам.

Ставки распределены неравномерно: числа до 31 выбираются чаще (даты рождения), «красивые» последовательности выбираются чаще, что при их выпадении приводит к делению приза между большим числом победителей.

То есть выбор «красивой» или «датной» комбинации не меняет вероятность выигрыша, но уменьшает размер выигрыша, если он случится.

Это единственный осмысленный совет, который можно дать о выборе номеров: если уж играть, выбирать числа больше 31 и не складывать их в узор.

Про «горячие» номера

Утверждения о «горячих» и «холодных» номерах не имеют оснований.

Механизм не помнит прошлых тиражей — ровно как рулетка в статье об ошибке игрока.

Лотерейные операторы публикуют статистику тиражей; отклонения частот выпадения отдельных номеров при большом числе тиражей укладываются в ожидаемые пределы.

Ключевое — в ожидаемые пределы. Идеально ровных частот не бывает и быть не должно: разброс есть у любой случайной величины, и он рассчитывается заранее. Наблюдаемый разброс расчётному соответствует.

Про «системы»

«Системы» и стратегии выбора номеров, повышающие вероятность выигрыша, не существуют.

Причина та же: исходы независимы, вероятность каждой комбинации фиксирована и никакой обработкой прошлых данных не меняется.

Единственный способ повысить вероятность выигрыша — купить больше билетов. Он работает и стоит ровно столько, сколько выигрывает.

Что запомнить

Одну формулу вопроса.

Не «какова вероятность этого для меня», а «сколько было возможностей во всём мире».

Тиражей — десятки тысяч. Билетов — миллиарды. При таких числах невероятное обязано происходить регулярно, и происходит.