Закон действительно больших чисел

Формулировка

Статистики Персис Диаконис и Фредерик Мостеллер, занимавшиеся математикой совпадений, сформулировали правило так: при достаточно большой выборке любая возмутительная вещь скорее всего произойдёт.

Звучит как парадокс, а является арифметикой. Если вероятность события — один на миллион, то при миллионе попыток ожидать его следует примерно один раз. Не «может быть», а именно ожидать.

Что мы считаем неправильно

Ошибка интуиции почти всегда одна и та же: мы считаем вероятность конкретного события вместо вероятности любого события такого рода.

Пример. Вероятность того, что вам приснится сон о смерти конкретного знакомого именно в ночь его смерти, ничтожна. Отсюда вывод: если такое случилось, это не может быть случайностью.

Но считать нужно иначе. В стране живут десятки миллионов человек. Каждый видит несколько снов за ночь. У каждого есть десятки знакомых, и каждый день кто-то из чьих-то знакомых умирает.

При таких числах ночь, в которую хоть у кого-то сон совпал со смертью, — не редкость, а неизбежность. Более того, если бы таких случаев не было вовсе, вот это как раз требовало бы объяснения.

Парадокс дней рождения

Самая наглядная иллюстрация, и она строго доказуема.

Сколько человек нужно собрать в комнате, чтобы вероятность совпадения дней рождения у двоих превысила 50 %? Интуиция подсказывает что-то около двухсот — половину от 365.

Правильный ответ: 23 человека.

Разгадка в том, что считать нужно не людей, а пары. В группе из 23 человек пар не 23, а 253 — каждый с каждым. Двести пятьдесят три возможности совпасть.

Это и есть механизм в чистом виде. Число людей растёт линейно, число пар — квадратично, а интуиция следит за первым числом.

Как этим пользоваться

Правило даёт полезный рабочий приём: встретив удивительное совпадение, спросите не «какова вероятность именно этого?», а два других вопроса.

Сколько было попыток? Не только ваших. Если речь о предсказании — сколько людей делали предсказания на эту тему? Если о лотерее — сколько билетов куплено в принципе?

Насколько широко описано событие? Совпадение почти всегда формулируется задним числом, и формулировка подгоняется. «Он предсказал катастрофу» звучит точно, пока не выяснится, что предсказание было про «большое несчастье в этом году».

Чего правило не делает

Важная оговорка, без которой получится передёргивание в другую сторону.

Закон больших чисел показывает, что удивление само по себе ничего не доказывает: редкие события обязаны случаться, и их наступление не требует особой причины.

Он не доказывает, что в конкретном случае особой причины не было. Это разные утверждения, и подменять одно другим так же нечестно, как объявлять всякое совпадение знаком.

Правильный вывод из правила скромнее и полезнее: совпадение не является свидетельством. Чтобы утверждать что-то сверх случайности, нужны данные, а не изумление.